วิธีเพิ่มเปอร์เซ็นการถูกหวยโดยใช้หลักคณิตศาสตร์แบบง่ายๆ

ลอตเตอรี่มีอยู่หลายที่ทั่วโลกและเป็นกรณีศึกษาที่น่าสนใจในพฤติกรรมมนุษย์และความสัมพันธ์ของเรากับคณิตศาสตร์มันน่าทึ่งว่าบางอย่างที่ส่วนใหญ่มีโอกาสเกิดขึ้นน้อยมากๆทำไมถึงดึงดูดคนเล่นขนาดนี้

โอกาสที่จะถูกรางวัลใหญ่ลอตเตอรี่ปกติแล้วคือหนึ่งในหลายสิบล้านคนยังคงซื้อตั๋ว(สลาก)ต่อไปดึงดูดโดยโอกาสน้อยนิดที่จะได้เงินจำนวนมหาศาลที่เปลี่ยนชีวิตได้เนื่องจากลอตเตอรี่ส่วนใหญ่จะถูกสุ่มออกอย่างมั่วๆ

พื่อความยุติธรรมมันเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเพิ่มโอกาสชนะของคุณโดยการเลือกเลขเฉพาะอย่างไรก็ตามมันเป็นไปได้ที่จะเพิ่มขนาดรางวัลที่เป็นไปได้ของคุณผ่านการเลือกเลขของคุณ

ในลอตเตอรี่ที่รางวัลใหญ่สุดถูกแบ่งระหว่างทุกคนที่ถูกเลขทั้งหมดคุณกำลังเล่นแข่งกับทุกคนอื่นๆรวมถึงความมั่วๆของการออกรางวัลในสถานการณ์เหล่านี้การรู้ว่าเลขไหนมีแนวโน้มที่จะเป็นที่นิยมเป็นประโยชน์

โดยทั่วไปแนวโน้มนี้จะรวมเลขที่คนในพื้นที่ถือว่า“เลขนำโชค”–เช่นเดียวกับการหลีกเลี่ยงเลข

• อาถรรพ์อย่างเลข13 (ในวัฒนธรรมตะวันตก)
• 4 (จีน, ญี่ปุ่นและเกาหลี)
• 9 และ 43(ญี่ปุ่น)
• 17 (อิตาลี)
• และ39(อัฟกานิสถาน)

การสำรวจโดยAlexBellosย้อนกลับไปในปี2014พบว่าเลข7ถูกมองว่าเป็นเลขโปรดของคนจำนวนมากดังนั้นเลขนั้นน่าจะเป็นที่นิยม;และหลายคนเลือกเลขของพวกเขาตามวันเกิดของตัวเองและครอบครัวดังนั้นเลขระหว่าง1ถึง31มีแนวโน้มที่จะถูกเลือกบ่อยกว่าเลขที่มากกว่า31ดังนั้นเป็นไปได้ว่าการเลือกเลขที่บางคนถือว่าเป็นเลขอาถรรพ์หรือไม่ค่อยมีใครเลือกหมายความว่าถ้าคุณถูกรางวัลใหญ่คุณก็มีโอกาสน้อยลงที่จะแบ่งรางวัลใหญ่กับคนอื่นๆเยอะๆ

เล่นกับระบบ

แน่นอนทั้งหมดนี้อยู่ภายใต้โอกาสที่น่ารำคาญเดียวกัน–โอกาสที่จะชนะของคุณยังคงน้อยมากๆจนแทบจะไม่มีมีอะไรที่เราทำได้บ้างไหมที่จะทำให้มันมีโอกาสมากขึ้น–หรือแม้แต่รับประกัน–ว่าเราจะเป็นผู้ถูกรางวัลลอตเตอรี่?

ตามทฤษฎีมันน่าจะเป็นไปได้ที่จะซื้อลอตเตอรี่จำนวนเท่าไหร่ก็ได้ที่คุณต้องการ–ด้วยเครือข่ายผู้ซื้อที่ประสานงานกันดีพอและอาจจะมีตาราง(spreadsheet)ที่ค่อนข้างใหญ่ทุกความน่าจะเป็นของเลขสามารถคำนวณจัดสรรและซื้อได้ค่าใช้จ่ายในการทำแบบนั้นจะเป็น

โดยค่าที่แน่นอนขึ้นอยู่กับรายละเอียดเฉพาะของลอตเตอรี่ที่คุณเล่น–การลงทุนที่มากโขแต่มีการตั้งทฤษฎีว่าเป็นวิธีการรับประกันว่าคุณจะชนะคุณจะมีตั๋วที่ถูกเลขทั้งหมดแน่นอน!แต่ตัวเลขไม่จำเป็นต้องคุ้มค่าเสมอไปถ้าคุณคำนวณผลตอบแทนที่คาดหวังจากเทคนิคนี้ตัวอย่างเช่นลอตเตอรี่สหราชอาณาจักรตอนที่เริ่มปี 1994 ใช้เลขหกตัวที่จับจาก 49 ตัวและตั๋วราคา 1 ปอนด์จากตรงนี้เราสามารถคำนวณผลตอบแทนที่คาดหวังของกลยุทธ์นี้ได้โดยดูว่าจะใช้เงินเท่าไหร่และคุณจะชนะเท่าไหร่

จำนวนชุดเลขที่เป็นไปได้ที่คุณสามารถเลือกได้สามารถคำนวณได้เป็น 49×48×47×46×45×44 = 10,068,347,520

เนื่องจากเลขที่ต่อเนื่องกันจะถูกจับจากชุดตัวเลือกที่เล็กลงเล็กน้อยจากนั้นเราต้องหารด้วย 6×5×4×3×2×1 = 720

เพราะเราไม่สนใจลำดับที่ลูกบอลถูกจับและนี่คือจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนพวกมัน(โพสต์ก่อนหน้านี้ของฉันเรื่องcombinatoricsพูดถึงเรื่องนี้ละเอียดกว่า)

สิ่งนี้ทำให้เราได้จำนวนความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้13,983,816(และยังบอกเราด้วยว่าโอกาสที่จะถูกรางวัลใหญ่โดยการถูกเลขทั้งหกตัวคือ1ใน 13,983,816 หรือ 0.000007% หรือน้อยกว่าโอกาสที่จะถูกดาวเคราะห์น้อยชน)

ค่าใช้จ่ายในการซื้อตั๋วหนึ่งใบสำหรับแต่ละชุดจะอยู่ที่ต่ำกว่า 14 ล้านปอนด์เล็กน้อย แต่คุณน่าจะชนะเท่าไหร่?

เรื่องมันซับซ้อนขึ้นเล็กน้อยตรงนี้เพราะลอตเตอรี่สหราชอาณาจักรเหมือนกับที่อื่นๆอีกหลายแห่งมีรางวัลสำหรับการถูกเลขน้อยกว่าหกตัวและภายในชุดตั๋วของคุณคุณก็จะมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเหล่านี้ด้วย(ถึงแม้ว่าคุณอาจจะอยากจ้างคนอื่นให้เอาตั๋ว 246,820 ใบที่แต่ละใบถูกเลขสามตัวไปที่ร้านเพื่อรับเงินรางวัล10ปอนด์สำหรับแต่ละใบก็ตาม)

คุณจะชนะรางวัลสำหรับการถูกเลข4และ5ตัวด้วย;และลอตเตอรี่สหราชอาณาจักรยังมี“ลูกบอลพิเศษ” ที่จับแยกเป็นเลขตัวที่เจ็ดซึ่งจะมีผลเมื่อคุณถูกเลขหลัก5ตัวด้วยและให้รางวัลเพิ่มเติมแก่คุณขนาดของรางวัลใหญ่เองขึ้นอยู่กับจำนวนตั๋วที่ขาย

และยอมรับว่ากลุ่มนักคณิตศาสตร์ที่ไม่เปิดเผยตัวตนที่ซื้อตั๋วจำนวนมากสำหรับการออกรางวัลเฉพาะครั้งหนึ่งจะเพิ่มจำนวนนี้ขึ้นค่อนข้างมากอย่างไรก็ตามถ้าคุณลองคำนวณตัวเลขจากการออกรางวัลเฉลี่ยรายสัปดาห์ภายใต้ระบบรางวัลเดิมจากรางวัลใหญ่และรางวัลย่อยทั้งหมดรวมกัน

คุณจะได้เงินรวมประมาณ 6,292,717 ปอนด์–น้อยกว่าครึ่งหนึ่งของเงินที่คุณใช้ไปกับตั๋ว(ยังไม่รวมค่าใช้จ่ายอื่นๆ)จากตั๋ว14ล้านใบที่คุณซื้อมีเพียง 260,624 ใบเท่านั้นที่จะถูกรางวัลอะไรก็ตาม–ซึ่งส่วนใหญ่จะเป็นตั๋วรางวัล10ปอนด์ของคุณ–และที่เหลือก็จะเข้าสู่การรีไซเคิลไปเลย

ลอตเตอรี่สหราชอาณาจักรยังมีระบบ“สะสมเงินรางวัล”ในบางครั้งที่ไม่มีใครถูกรางวัลใหญ่–ส่วนหนึ่งของเงินรางวัลที่ถูกกันไว้สำหรับรางวัลใหญ่จะถูกเพิ่มเข้าไปในรางวัลใหญ่สำหรับสัปดาห์ถัดไปแต่แม้ว่าจะมีการสะสมเงินรางวัล, สะสมสองครั้งติด (เมื่อเกิดขึ้นสองครั้งติดต่อกัน) หรือสะสมสามครั้งติดคุณยังคงคาดว่าจะขาดทุนจำนวนมากจากเงิน14ล้านปอนด์ของคุณโดยที่จำนวนเงินที่คุณคาดว่าจะชนะยังคงน้อยกว่า10ล้านปอนด์

เมื่อเร็วๆนี้เรื่องนี้ยิ่งแย่ลงไปอีก ลอตเตอรี่สหราชอาณาจักรได้เพิ่มชุดตัวเลขเป็นเลือก 1 จาก 59–ซึ่งตอนนี้หมายถึงมีความน่าจะเป็น 45,057,474 แบบ–และตอนนี้ตั๋วราคา 2 ปอนด์ต่อการออกรางวัล

ดังนั้นคุณจะต้องลงทุนเกือบ 100 ล้านปอนด์เพื่อเล่นตั๋วทั้งหมดและจะขาดทุนมากขึ้นไปอีกแน่นอน รางวัลใหญ่สูงสุดเฉลี่ยอยู่ที่เพียง 13 ล้านปอนด์ (โดยมีเพดานว่าจะสะสมได้กี่ครั้ง) และรางวัลเล็กๆจะไม่ได้เพิ่มจำนวนรวมมากนักมันสมเหตุสมผลที่ว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำกำไรจากการทำแบบนี้

ในลอตเตอรี่สหราชอาณาจักรสำหรับตั๋วทุกใบราคา1ปอนด์ที่ซื้อประมาณ45เพนนีจะเข้าไปในกองทุนรางวัลในขณะที่อีก55เพนนีจะไปที่การบริจาคเพื่อการกุศล รวมถึงครอบคลุมค่าใช้จ่ายในการดำเนินงานและสร้างกำไรให้กับบริษัทที่ดำเนินงานลอตเตอรี่ดังนั้นไม่มีทางที่คุณจะได้เงินออกมามากกว่าที่คุณลงทุนไป–เหมือนกิจกรรมที่เกี่ยวข้องกับการพนันทั่วไปถ้ามีคนกำลังทำเงินจากการดำเนินงานคุณสามารถคาดหวังได้เลยว่าคุณจะขาดทุนโดยรวม

ทำให้มันเป็นคณิตศาสตร์ซะ

นี่ไม่ได้หมายความว่าไม่มีความหวังเลยนะ คนก็ยังคงถูกลอตเตอรี่และได้เงินจำนวนมหาศาลกับเกมพนันอะไรก็ตามมันเป็นไปได้เสมอที่คุณจะเดินออกไปพร้อมเงินมากกว่าที่คุณใช้ไป ถ้าคุณโชคดีในขณะที่คุณไม่สามารถควบคุมโชคชะตาได้มันเป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนวิธีที่โอกาสเหล่านี้มีปฏิกิริยาต่อกันทางคณิตศาสตร์โดยการเลือกอย่างรอบคอบ

ตัวอย่างเช่นเมื่อเล่นรูเล็ตตัวเลือกของคุณรวมการเดิมพันบนสีเฉพาะ (ประมาณครึ่งหนึ่งของช่องบนวงล้อ) หรือการเดิมพันบนตัวเลข(หนึ่งในช่อง) คุณชนะเงินมากกว่ามากสำหรับการถูกเลขตัวเดียวอย่างถูกต้อง

แต่คุณสามารถควบคุมผ่านการเลือกนี้โดยอิงจากว่าคุณอยากจะมีโอกาสชนะเงินเล็กน้อยมากกว่าหรือโอกาสน้อยกว่าที่จะชนะเยอะ คุณสามารถคิดว่านี่คือการ‘รวม’โอกาสต่างๆในแบบที่เหมาะกับคุณข่าวดีคือถ้าทั้งหมดที่คุณสนใจคือความตื่นเต้นของการชนะ

นักคณิตศาสตร์บางคนได้พบวิธีที่จะรับประกันสิ่งนี้ให้กับคุณแล้วนักวิจัยบางคนที่มหาวิทยาลัยแมนเชสเตอร์เพิ่งออกบทความชื่อ“คุณต้องมี 27 ตั๋วเพื่อรับประกันการชนะในลอตเตอรี่แห่งชาติสหราชอาณาจักร”

ซึ่งใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์แบบ combinatorics ที่ฉลาดเพื่อเสนอชุดตั๋วเล็กๆที่รวมกันแล้วจะถูกเลขอย่างน้อยสองตัวแน่นอนทำให้คุณชนะรางวัลเล็กๆภายใต้ระบบปัจจุบัน(การเล่นแบบสุ่มฟรีในลอตเตอรี่ครั้งถัดไป)

ระบบเกี่ยวข้องกับการใช้คณิตศาสตร์ชิ้นหนึ่งที่ฉลาดเรียกว่าเรขาคณิตจำกัด–ฉันได้พูดถึงเรื่องนี้ที่นี่ก่อนหน้านี้ตอนพูดถึง blockdesigns สิ่งเหล่านี้คือโครงสร้างที่รวมความน่าจะเป็นทั้งหมดของวัตถุจากชุดของชุดที่กำหนด

แผนภาพด้านล่างแสดงโครงสร้างเหล่านี้ที่แสดงในรูปแบบแผนภาพ–ในสามอันล่างซึ่งเป็นโครงสร้างที่เรียกว่า Fano Plane แต่ละเส้นจะมีจุดสามจุดและแต่ละจุดจะอยู่บนเส้นสองเส้นจากเส้นทั้งหมด(หนึ่งในนั้นไม่ใช่เส้นตรงแต่เราจะยกโทษให้)

หลังจากกำหนดสองตัวเลขให้กับแต่ละจุดการซื้อตั๋วที่มีหกตัวเลขติดอยู่กับแต่ละเส้นและการสร้างระนาบที่ครอบคลุมตัวเลขทั้งหมดรับประกันว่าสำหรับหกตัวเลขในการออกรางวัลลอตเตอรี่ตั๋วหนึ่งใบของคุณจะมีอย่างน้อยหนึ่งคู่แน่นอน

แผนภาพอีกสองอันถูกรวมเข้ามาเพื่อให้แน่ใจว่าตัวเลขทั้ง 59 ตัว ของลอตเตอรี่สหราชอาณาจักรถูกครอบคลุม 3 ชุดของ 14 ตัวเลขบน Fano planes ได้42 และเราก็สามารถใช้อันที่สี่เพื่อรวมที่เหลือได้ในกรณีนี้ตัวเลขที่เหลือจะถูกจัดเรียงในโครงสร้างที่ง่ายกว่าแทนเพื่อให้คุณซื้อจำนวนตั๋วที่น้อยที่สุด ซึ่งพิสูจน์แล้วในบทความว่าคือ 27

แน่นอนคุณสามารถเลือกที่จะกำหนดตัวเลขแตกต่างไปจากวิธีที่ทำในแผนภาพ และมันน่าจะเป็นความคิดที่ดีที่จะทำแบบนี้เพราะบทความได้ถูกเผยแพร่แล้วและฉันคิดว่ามีคนจำนวนไม่น้อยที่ใช้ตัวเลขที่แนะนำในบทความดังนั้น

อย่างที่เราได้เห็น การหลีกเลี่ยงเลขเฉพาะเหล่านั้นจะลดโอกาสของคุณที่จะแบ่งรางวัล(สำหรับคำอธิบายที่เจาะลึกกว่านี้MattParkerได้ทำวิดีโอซึ่งเขาได้ไปซื้อตั๋ว27ใบสำหรับการออกรางวัลหนึ่งสัปดาห์–คุณต้องดูเพื่อดูว่าเกิดอะไรขึ้น)

ปัญหาตรงนี้คืออีกครั้งที่คุณไม่ควรคาดหวังผลตอบแทนมหาศาล: “การชนะ” ของคุณอาจจะเป็นแค่การเล่นเพิ่มเติมฟรี(ซึ่งในทางทฤษฎีมีค่าอีก 2 ปอนด์แต่อย่างที่เราได้พูดถึงไม่น่าจะมีค่ามากกว่านั้น) และแม้แต่การถูกเลขสามตัวซึ่งไม่ได้รับประกันที่นี่ก็ได้เพียง 30 ปอนด์เท่านั้น

เนื่องจากนี่เป็นตัวอย่างของวิธีการจัดการและรวมโอกาสต่างๆการรับประกันตัวเองว่าจะถูกอย่างน้อยสองตัวเลขจะลดโอกาสของคุณที่จะถูกเลขสามตัวลงเล็กน้อยถ้าคุณเล่นตั๋วเหล่านี้แทนการสุ่มเลือก 27 ครั้ง (ประมาณ23.5% แทนที่จะเป็น 24.4% ปกติ)

Peter Rowlett ที่ The Aperiodical ได้ทำการจำลองอย่างรวดเร็วสร้างการออกรางวัลลอตเตอรี่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 45 ล้านครั้ง และนับว่าการออกรางวัลไหนที่จะทำให้คุณชนะเพียงพอที่จะครอบคลุมการลงทุนเริ่มต้นของคุณ (54 ปอนด์สำหรับ 27 ตั๋วราคาใบละ 2ปอนด์)โ

อกาสที่จะทำกำไรโดยอิงจากสัดส่วนของการออกรางวัลที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่สิ่งนี้เกิดขึ้นคือน้อยกว่า 5%–และในประมาณ 75% ของการออกรางวัลการชนะเพียงอย่างเดียวคือการถูกเลขสองตัวดังนั้นบางทีนี่อาจจะไม่ใช่เส้นทางสู่ความร่ำรวยที่รับประกันได้ แต่มันเป็นเรื่องคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจเลยทีเดียว